APLICACIÓN DE FUNCION DE
SEGUNDO GRADO
Una aplicación muy
común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida
por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la
parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya
lanzado). Si graficamos la distancia en el eje x y la altura
en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor de x cuando y es
cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática, o intersecciones en x, de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces
de una ecuación cuadrática — ya sea factorizando, completando el cuadrado, o
aplicando la fórmula cuadrática.
Consideremos el tiro
hecho por un lanzador de peso. Nota que x = 0 cuando el
lanzador tiene el tiro (una bola de metal pesada= en su mano — el tiro aún no
ha salido. El lanzador usualmente comienza con el tiro en su hombro,
entonces y (la altura) no es 0 cuando x = 0:
Ejemplo
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Problema
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Una pelota es lanzada
hacia arriba a 48 pies/s desde una plataforma que está a 100 pies de altura.
Encontrar la altura máxima que alcanza la pelota y qué tanto tiempo le tomará
llegar ahí.
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Empezar con la ecuación que modela un objeto siendo lanzado
Sustituir la velocidad inicial v0 = 48
y la altura h0 = 100.
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Como queremos encontrar la forma vértice de la ecuación, a(x – h)2, factorizar -16 de los primeros dos términos. El valor de a es -16 y usaremos t para x. De esta manera completamos el cuadrado en t2 – 3t para obtener la ecuación en su forma vértice
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Para completar el cuadrado en x2 + bx, sumamos |
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Recuerda que cuando completamos el cuadrado, sumamos un valor a la expresión. Como el término t2 tiene un coeficiente, esto puede ser un poco confuso, entonces nos vamos a preparar para completar el cuadrado para t2 – 3t añadiendo c a t2 – 3t, dentro del paréntesis
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Sumar 36 a ambos lados. Ahora tenemos la forma vértice, y podemos identificar el vértice como
La coordenada x es t en esta ecuación, que es el tiempo. La coordenada y representa la altura
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Cuando sumamos una cantidad a un lado de la ecuación, debemos también sumarla al otro lado. Como la cantidad añadida, c, está dentro del paréntesis en la derecha, en realidad vamos a sumar -16c. Esto significa que cuando sumamos la cantidad en el lado derecho debemos sumar -16c.
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Solución
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La
altura máxima es 136 pies y le tomará 1.5 segundos alcanzarla
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Para cualquier duda, consultar:
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